I. Construction de la Musique

Le lien entre la musique et les mathématiques a fasciné des érudits durant des siècles . Pythagore découvrait il y a plus de 2000 ans que les intervalles musicaux plaisant pouvaient être mis en relation avec des fractions simples. Depuis, de nombreuses façons de construire la musique à partir des mathématiques ont été abordées.
 
Nous donnons dans cette première partie quelques notions de base de la musique indispensable à la bonne compréhension du  travail suivant.
 
  
A. Les fondamentaux de la musique
  
Le solfège correspond aux fondamentaux de la musique, c'est-à-dire à l’étude des bases de la théorie musicale et de sa notation.
 
a - Les notes :
 
7 notes constituent la musique : do-ré-mi-fa-sol-la-si-do qui est la notation syllabique  (C-D-E-F-G-A-B en notation alphabétique employée dans les pays de langue allemande et anglaise) : ces notes représentent  des durées et des hauteurs de son.
Chaque note va de la plus grave à la plus aigüe.
mipentagrama-1.png
 
    Note                          ronde                                    blanche                        noire                           croche                        double croche
Schémagetattachment-1-3.pnggetattachment-2.gifgetattachment-1-1.gifgetattachment-2-3.pnggetattachment-3-1.png
Temps 4 temps 2 temps 1 temps moitié d'un temps 
 la moitié de la moitié d'un temps
(quart de temps)
Equivalence
2 blanches
2 noires2 croches 2 doubles croches 2 triple croches
 

 
b - La portée :
 
Les notes se placent sur une portée :
yb0220-portee-6.png
 
                         portee-eya-4.jpgVoici un système de portée :
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c- Les clés
 
Les clés se placent au commencement de la portée. Elles servent à fixer le nom des notes et à indiquer en même temps la place que celles-ci occupent dans l’échelle musicale. Il y a 3 figures de clé :
 
la clé de sol, la clé de fa et la clé d’ut :
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d - Les altérations :
 
L’altération est un signe qui modifie la hauteur de son de la note à laquelle elle est affectée.
 
3 types d’altérations :
  
- le dièse qui éléve le son d’un demi ton
- le bémol qui abaisse le son d'un demi-ton
- le bécarre qui annule l’effet de toutes les altérations
 
Nous verrons ce qu’est un ton et un demi-ton par la suite.
trois-alterations.jpg
 
e - La mesure :
 
La mesure est la division en parties égales d’un morceau de musique.
Une mesure se subdivise généralement en deux, trois ou quatre parties, qu’on nomme temps .
 
Il y a donc :
 
- La mesure à 2 temps 
- La mesure à 3 temps
- La mesure à 4 temps
 
Lorsque les temps d’une mesure sont divisibles par deux, on les nomme temps binaires et ils constituent une mesure simple.
Lorsque les temps d’une mesure sont divisibles par trois, on les nomme temps ternaires et ils constituent une mesure composée.
Il y a donc deux espèces de mesures :
La mesure simple dont les temps sont binaires et la mesure composée dont les temps sont ternaires.
 
f - Chiffrage des mesures :
 
Les différents types de mesures sont indiqués par les 2 chiffres placés après la clé et les altérations au début d'un morceau.

Exemples :                                              

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Le chiffre du haut (numérateur) indique la durée de la mesure en nombre de valeurs.
Le chiffre du bas (dénominateur) indique la valeur de référence.
 
La ronde est représentée par le chiffre 1

La blanche est représentée par le chiffre 2

La noire est représentée par le chiffre 4

La croche est représentée par le chiffre 8

La double croche est représentée par le chiffre 16 (rare)

La triple croche est représentée par le chiffre 32 (rare)
 
La quadruple croche est représentée par le chiffre 64 (rare)
 
Le chiffre du bas sera donc  toujours : 1, 2, 4, 8, 16, 32 ou 64 et jamais un autre.
 
Pour le premier exemple  :  le chiffrage de la mesure "à deux-quatre" 
                                                   getattachment-3.png
 

 signifie que chaque mesure du morceau contient l'équivalent de 2 noires.
 
  g - Ton, demi ton :
 
Rappelons qu’une gamme est une série de sons conjoints. Une seule gamme diatonique n’utilise pas d’altérations. Cette gamme est celle que l’on obtient en jouant sur les touches blanches d’un instrument à clavier.
Pour former une gamme diatonique on utilise sept notes de noms différents plus une, la huitième n’étant que la répétition de la première à l’octave supérieur .Chaque note peut donner naissance à une nouvelle gamme .Dans la composition musicale, chaque note d’une gamme ayant un rôle bien déterminé prend le nom de degré. On a l’habitude d’indiquer les degrés à l’aide des chiffres romains :
 gamme-doc.png
  
 
Les degrés ou notes de la gamme diatonique ne sont pas également espacés entre eux ; entre les uns la distance est plus grande  entre les autres elle est plus petite. La distance la plus grande se nomme "ton" et la distance la plus petite se nomme "demi-ton". Un ton peut se diviser en deux demi-ton .Entre deux notes séparées par un ton, soit do-ré, on peut faire entendre un son intermédiaire .De la note do à ce son intermédiaire, il y a un demi-ton ; de ce son intermédiaire à la note ré, il y a un autre demi-ton.
Pour obtenir un demi ton dans une gamme autre que diatonique on peut :
 
1°) En élevant le son de la note inférieure par un dièse: le dièse élève d’un demi-ton le son de la note devant laquelle il est placé.
 
ton-demi-ton-2.png
 
 
2°) En abaissant le son de la note supérieure par un bémol: le bémol abaisse d’un demi-ton le son de la note devant laquelle il est placé.
 
 
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Le son intermédiaire peut toujours se placer entre deux sons séparés par un ton; par conséquent, un ton peut toujours être divisé en deux demi-tons.
Une gamme chromatique est  constituée d’enchainements de demi-ton.
 
h - L’intervalle :
 
On nomme "intervalle" la distance qui sépare deux sons. On mesure un intervalle par le nombre de degrés qu’il contient, y compris le son grave et le son aiguë. Ce nombre de degrés est exprimé par le nom de l’intervalle.
L’intervalle est ascendant lorsqu’on le mesure du grave à l’aiguë, il est descendant lorsqu’on le mesure de l’aiguë au grave. Par convention, un intervalle est toujours considéré comme ascendant à moins que le contraire ne soit spécifié.
On nomme unisson le même son produit par deux ou plusieurs voix ou instruments; par conséquent, l’unisson n’est pas un intervalle.
 
Il existe deux formes d’intervalle :
  • L’intervalle mélodique qui fait entendre les deux sons successivement,
  • L’intervalle harmonique qui fait entendre les deux sons simultanément (accord). Celui-ci se lit toujours de bas en haut. 
Exemple
 
 intervalle-melodique-harmonique.png
 
 
 
nom-intervalles.png
 
 
 
Voici à présent différents théorèmes, différentes découvertes ayant servis à la construction de la musique ou  à des œuvres musicales. Nous vous présentons dans l’ordre chronologique trois exemples de construction découverts successivement par Pythagore, Fibonacci et Fourier.
 
 
 
B. Construction de la musique par Pythagore/Rapport arithmétiques au travers des sons

 
a - La légende :
 
Une légende dit que Pythagore fut charmé par les sonorités harmonieuses rendues par des marteaux de différents poids frappant sur une enclume. Il pesa les marteaux et découvrit qu’ils pesaient respectivement 6,8,9 et 12 (unité de poids). Toutes les associations deux par deux de ces sons produisaient toutes, à l’exception de l’association 8 et 9, des sons harmonieux.
Rapportons ces chiffres à 6, et nous obtenons les fractions suivantes (réduction en facteurs premiers) :
1   4/3  3/2  2
 
Une proportion harmonique est ainsi créée : le 1 représente l’unisson , 4/3  représente la quarte (intervalle contenant quatre degrés), 3/2  représente la quinte ( intervalle contenant 5 degrés) et 2 représente l’octave (intervalle contenant 8 degrés)
 
 
b - Gamme pythagoricienne/cycle des quintes :
 
Grâce à cette expérience la gamme pythagoricienne et le cycle des quintes se sont mis en place. De cette gamme pythagoricienne est né le cycle des quintes (schéma ci-dessous). La gamme pythagoricienne est la gamme que nous connaissons aujourd’hui ; ex :do ré mi fa sol la si do. Elle est construite exclusivement sur des intervalles de quintes donc par le rapport de fréquence 3/2.
 Pour n’importe quel accord que l’on prend dans  le cercle ci dessous, la note qui suit dans le sens des aiguilles d’une montre est la quinte, et la note qui suit dans le sens contraire des aiguilles d’une montre est la quarte.
Exemple : pour l’accord C(do), sa quinte est G(sol) et sa quarte est F.
 
 
 Anglais        Francais
 
  • C                   Do                                                      
  • D                   Ré
  • E                    Mi
  • F                    Fa
  • G                   Sol
  • A                    La
  • B                    Si    
 
220px-cycle-des-quintes-1.jpg

En rose, le nom des notes désigné par la connotation française et en noir, celui désigné par la connotation anglo-saxonne.
 
Les notes s'enroulant à l'extérieur du cercle correspondent à des tonalités majeures alors que celle qui s'enroulent à l'intérieur du cercle correspondent aux tonalités mineures associées à celles majeures situées au même endroit sur le cercle.
Comme souligné dans la première partie, le cycle des quintes nous permet de trouver  facilement la tonalité d’un morceau, c'est-à-dire le mode majeur ou mineur dans lequel ce morceau est joué.
 
Dans le schéma ci-dessus, on peut voir que quand il n’y a pas de dièse à l’armure (#) cela correspond à la tonalité "do" majeur ou "la" mineure. Quand il y a un dièse à l’armure  (#), cela correspond à la tonalité "sol" majeur ou "mi" mineure … etc.
En outre, ce cycle des quintes permet également  de composer une chanson très facilement. En effet, si on choisit un accord dans le cercle , qu’on le joue en l’enchaînant avec les deux accords qui sont de part et d’autre, cela sonne bien. Concrètement si l’on prend par exemple sol , celui-ci sonne bien avec do et ré.
 
L’enchainement G-D-Am-G-D-C soit sol-ré-la-sol-ré-do est d’ailleurs le thème principal de Knocking on Heaven’s Door de Bob Dylan.
 

C - Fibonacci/Nombre d'or
 
 
a- Suite de Fibonacci
 
A l’exception des deux premiers, chaque terme de la suite est égal à la somme des deux termes qui le précédent.
 
Ex : 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 etc. … 
 En effet, soit F les termes de cette suite également appelé les nombres de Fibonacci : Fn=Fn-1 +Fn-2

Le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d’or qui est la solution positive de l'équation de la suite de Fibonacci  : , le discrimant est égal a 5, il y a alors 2 solutions et la solution positive est le nombre   
 
Reprenons l’exemple précédent :
…. 8, 13, 21, 34…
13/8=1,625>1 ,61803398 ; 21/13=1,61538<1,61803398 ; 34/21=1,61904>1,61803398 …
On en déduit que plus l’écart s’amenuise, plus le rapport des deux nombres successifs(le plus grand /le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or.
 
b - Application musicale à la suite de Fibonacci :
 
morceau-bach.png
 
 
1-Ceci est un extrait d’un prélude de Bach provenant du clavier bien tempéré.
On remarque que le motif rythmique utilisé est tout à fait original. Les huit double croches s'organisent en 2+3+3, ou 5+3 si l'on veut. 2, 3, 5: les premiers termes de la série de Fibonacci. 
De plus,ce prélude comporte 34 mesures (si l'on exclut la mesure finale qui comporte uniquement l'accord d'ut majeur). Or si la basse descend constamment jusqu'à la mesure 21 (fa, IVe degré) avant de remonter vers une pédale de sol (Ve degré) qui amène la conclusion. 34=21+13, 13 et 21 étant les 7ème et 8ème termes de la suite de Fibonacci.
 
2-Le morceau de musique de Tool intitulé Lateralus  reprend en quelque sorte la suite de Fibonacci : les syllabes des paroles de la chanson correspondent aux premiers termes ascendants et descendants de la suite de Fibonacci.
 
(1) Black,
(1) then,(2) white are,
(3) all I see,
(5) in my infancy,
(8) red and yellow then came to be,
(5) reaching out to me,
(3) lets me see.(2) There is,
(1) so,
(1) much,
(2) more and
(3) beckons me,
(5) to look through to these,
(8) infinite possibilities.(13) As below so above and beyond I imagine,
(8) drawn outside the lines of reason.
(5) Push the envelope.
(3) Watch it bend.
 
De plus, le chanteur commence à chanter à 1:37 minutes ce qui correspond approximativement à 1,618 qui n’est autre que le nombre d’or.
 
3- Méthode de construction du morceau de musique présenté à l'oral

Nous avons associé à chaque terme de la suite une note. Mais les termes de la suite deviennent rapidement très élevés par rapport aux nombre de notes disponibles que nous pouvons jouer avec nos instruments. C’est pour cela que nous utiliserons des modulos, soit modulo 7 si nous utilisons la gamme classique : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si, Do ou modulo 12 si nous utilisons la gamme diatonique, c'est à dire comportant des dièses et bémols créant ainsi une gamme de 12 notes.

 
D. Série de Fourier
 
  • Alors que les sons sont des ondes de forme quelconque, une note de musique est un son bien particulier, car elle correspond à une onde périodique ou quasi périodique. Cette courbe périodique très connue en mathématiques, la sinusoïde, correspond au son d'une sonnerie de téléphone ou une alarme de voiture par exemple. D’après Fourier, tout phénomène de fréquence f est la superposition de sinusoïdes de fréquences f, 2f, 3f. Dans notre cas, n'importe quelle note sera la superposition de sons sinusoïdaux, nommés harmoniques. 

On appelle fréquence la hauteur de la note, soit la justesse. On donne au do du milieu du piano le chiffre 1 soit la hauteur fondamentale. La fréquence fondamentale est composée de fréquence f1, f2, f3 ou de hauteurs multiples de la fréquence .  La hauteur f2 est celle du do +aigue a qui on attribue le chiffre 2, on remarque que l’on multiplie par 2. On multiplie alors encore par 2 pour obtenir un do 2 fois +aigue et on lui donne le chiffre 4 (2*2). Cependant il manque la fréquence 3, il suffit donc d’effectuer 3/2 *2 pour obtenir le chiffre 3 et on observe que ce rapport correspond a une quinte soit sol

En effet soit 1 Do4
(1x2=1) soit 2 Do5
(2x2=4) soit 4 Do6
—
De plus (3/2) :2=3 correspond a la quinte donc 3  Sol


 
  • On peut également remarquer que le diapason, qui est un outil aidant à accorder l'instrument d'un musicien, donne la fréquence, ou la hauteur (ce qui signifie la même chose) d'une note de référence mondialement accepté : le la. Actuellement sa fréquence est de 440Hz et on sait de plus que l’espace, qui sépare deux sommets de la courbe sinusoïdale représentant l onde sonore, est le même sur toute la courbe, on l appelle une période. Cela signifie pour le la du diapason, qu’une période se répète 440 fois en une seule seconde.

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Diapason souvent utilisé par les guitaristes : objet en forme de y. La longueur et la distance des branches déterminent une fréquence fixe, connue à l’avance. Quand on heurte le diapason, les branches se mettent à vibrer.

Mais on peut également utiliser un accordeur électronique, tout aussi efficace.

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Si le musicien décide de jouer dans des tonalités plus élevés, il peut diminuer la fréquence par 2 (pour obtenir une période qui se répète 220 fois en une seconde  avec un accordeur électronique ou changer de diapason. En effet plus la fréquence de l’onde est élevé, plus le son est aigu et inversement.

 

D'autres savants se sont intéressés à la musique. Nous pouvons par exemple citer Galilée, Descartes ou encore Euler qui avait pour but de donner une explication comme quoi  la musique apporte à celui qui l'écoute.
Maintenant, découvrons la construction générale d’un morceau de musique et pour exemple, la construction d'un morceau d'un style très apprécié : le blues.
 
 
E. Construction générale d’un morceau de musique
 
a - Morceau général :
 
Souvent, les morceaux de musique sont construits de manière structurée c'est-à-dire : intro/couplet/refrain/couplet/refrain/pont/refrain.
 
b - Morceau de blues :
 
Initialement assez libre, la structure harmonique du blues se fixe progressivement pour aboutir à une forme de base articulée autour de trois accords, généralement sur 8, 12 ou 16 mesures. La forme en douze mesure est, de loin, la plus commune : on parle de « 12 bar Blues » (Blues de 12 mesures). Ces trois accords, désignés par les chiffres romains I-IV-V, représentant les premier, quatrième et cinquième degrés :
 
Blues qui tourne sur 12 mesures :
I I I I
IV IV I I
V IV I I
Si l’on prend comme note principale do cela reviendrait à :
Do-Do-Do-Do
Fa-Fa-Do-DoSol-Fa-Do-Do
Le "12 bar blues" présente une régularité mélodique qui est en quelque sorte mathématique.
 
  
 
Après avoir présenté différents moyens de construction tels que la gamme pythagoricienne, le cycle des quintes, le blues, la suite de Fourier et la suite de Fibonacci, nous nous sommes arrêtées sur  cette dernière suite pour entreprendre la création d'un morceau basé sur la relation entre les chiffres et les notes et reliant les différents instruments que nous jouons toutes les trois : clavier, hautbois et guitare et que  nous vous présenterons à l'oral.
 
 
"La musique, c'est du bruit qui pense".    Victor Hugo
 
 

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